Clàssicament definim el número $\pi$ com el quocient entre la longitud d’una circumferència i el seu diàmetre. Tanmateix, el diàmetre és una elecció una mica estranya, ja que la definició de la circumferència és “el lloc geomètric dels punts a una distància fixa $r$ del centre”, i aquesta distància és el radi. Per tant, és més natural definir la constant de la circumferència com el quocient entre la longitud i el radi, que per evitar malentesos anomenarem $\tau$ (la lletra grega tau). Aleshores, $$\tau = 2\pi = 6,2831853072 \ldots$$
Potser la manera més clara de veure que $\tau$ és més natural que $\pi$ és quan mesurem angles en radians. Un angle de $90^\circ$ són $\tau/4$ radians, perquè $90^\circ$ són un quart de circumferència (que és més natural que dir que $90^\circ = \pi/2$ radians perquè $90^\circ$ és la meitat de mitja circumferència). Una circunferència mesura naturalment $\tau$ radians.
(imatge)És clar que qualsevol fórmula que involucri $\pi$ la podem reescriure fent servir $\tau$, així que no hi ha cap avantatge formal o matemàtic de triar un o un altre. Però sí és cert que la intuició humana de les quantitats i de les fórmules podria millorar fent servir $\tau$. De fet, no és tan sorprenent que hi hagi tantes fórmules que involucren $2\pi$. Existeixen propostes, debats i “corrents de pensament” que reivindiquen $\tau$ en lloc de $\pi$ (vegeu les següents referències). Feliç dia de $\pi$ !
El número $\pi$ és “la constant de la circumferència”, el quocient entre la longitud d’una circumferència i el seu diàmetre. És natural aleshores que $\pi$ aparegui en totes les coses rodones, com fórmules d’àrees i volums de cilindres, esferes, etc. Però $\pi$ també apareix en àmbits que aparentment no tenen relació amb coses rodones, per exemple $\pi$ apareix en la distribució normal en estadística, $$ N(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{\frac{-x^2}{2}}$$ o en sumes infinites $$ \frac{1}{1^2}+ \frac{1}{2^2}+ \frac{1}{3^2}+ \frac{1}{4^2}+ \frac{1}{5^2} + \ldots = \frac{\pi^2}{6}.$$
Quan estudiem un curs d’anàlisi, trobem les conexions que relacionen la definició de $\pi$ en termes de la circumferència, i trobem demostracions d'aquests resultats aparentment sorprenents. Tanmateix, potser des del punt de vista lògic i intuitiu, podríem canviar la definició de $\pi$, de manera que aparèixer a les circumferències i a les coses rodones només és una propietat de $ \pi $ , perquè $\pi$ es defineix a partir d’altres elements més fonamentals. Una definició més essencial de $\pi$.
Quina pot ser una definició alternativa de $\pi$? Per exemple, $\pi$ és el primer zero positiu de la funció sinus, $\sin$. La funció $\sin$ és la solució a l’equació diferencial $$\left\{ \begin{array}{rlc} f^{\prime\prime} &=& -f \\ f(0) &=& 0 \\ f^\prime (0) &=& 1\end{array}\right. .$$
Així podem definir la funció sinus i $\pi$ sense fer servir trigonometria ni circumferències, només anàlisi matemàtica. Si, per exemple, busquem a un llibre d’anàlisi la demostració de que $\pi$ és irracional (o de que és trascendent), aquesta és la definició (o propietat) de $\pi$ que es fa servir, no cal cap referència a construccions geomètriques.
Una manera profonda i bonica de definir $\pi$ (i també $e$) és la següent: Partim de que tenim els números reals i complexos, funcions, i la operació de derivació d/dx. Aleshores, una funció clarament especial és un punt fix de la derivació, és a dir, una funció que satisfaci $$f^\prime=f$$
Una solució (trivial) és quan $f(0)=0$ i, per unicitat, $f(x) = 0$ constant. L’altra solució, la interessant, és quan normalitzem a $f(0)=1$. La única funció que satisfà aquesta equació diferencial amb aquesta condició inicial l’anomenem funció $\exp$.
Aquesta funció (definida sobre els complexos) és periòdica (perquè $g(x) = f(x+c)$ també satisfà $g^\prime =g$) i el seu període és imaginari pur, que definim com $2\pi i$. Així,
La fórmula d'Euler, anomenada la “fórmula més bonica del món”, $$e^{\pi i} +1 =0 $$ no és més que una conseqüència directa de les definicions de $\pi$ i $e$ . Potser si prenem aquestes definicions, la fórmula més bonica del món seria $$ L = 2 \pi r$$ en una circumferència. Feliç dia de $\pi$ !
D’entre les més de 7.000 llengües que existeixen a tot el món, n’hi ha una feta a partir del número $\pi$. Però com és possible això? Bé, algunes persones han portat el seu amor pel número $\pi$ fins al punt d’inventar un dialecte basat en ell. En el “Pi-lish”, el nombre de lletres de cada paraula coincideix amb el dígit corresponent de $\pi$. Aquesta primera paraula té tres lletres, la segona una lletra, la tercera quatre lletres, i així successivament. Aquest llenguatge és més popular del que podríeu pensar. L’enginyer informàtic Michael Keith va escriure un llibre sencer anomenat Not a Wake en aquest idioma, i fins i tot ha traduït obres clàssiques com el poema El corb, d’Edgar A. Poe. Us atreviu a provar-ho?
Els primers en ensumar-se que una circumferència amagava misteris més enllà de la seva forma senzilla van ser els egipcis. El papir matemàtic de Rhind, trobat prop del temple commemoratiu del faraó Ramsès II, constitueix una de les millors finestres per veure fins a on arribava la comprensió de les matemàtiques dels egipcis. El seu autor, Ahmose, va titular l’obra Instruccions per assolir el coneixement de totes les coses fosques, però el seu contingut era molt menys sinistre del que suggeria aquest títol.
Dels 87 problemes en què es va dividir el contingut del papir, el 48 i el 50 eren els que suggerien una visió genuïna de coses desconegudes anteriorment.
El problema 48 en particular mostrava un cercle inscrit dins d’un quadrat, amb marques jeroglífiques que denotaven el seu valor com a $64$; El problema 50 va seguir aquesta informació amb un procediment per trobar “l’àrea d’un camp rodó amb un diàmetre de $9$ khet”. Els passos indicats demanen restar $1/9$ del diàmetre del cercle i després multiplicar-lo per $8$, per a una àrea de $64$.
Després d’alguna substitució utilitzant el nostre coneixement contemporani de la fórmula de l’àrea del cercle com $\pi \cdot r^2$, els egipcis sembla que van calcular el valor constant de $\pi$ com $256/81$, o sigui $3,16$, no està malament per a un primer intent l’any 2000 aC.
A mesura que la civilització humana, i en conseqüència el camp de les matemàtiques, avançava, grans ments de totes les èpoques van abordar la qüestió de pi. L’any 250 aC, Arquímedes va calcular les àrees d’un polígon inscrit dins d’un cercle i el polígon en el qual estava inscrit el mateix cercle, sabent que pi ha d’estar entre els dos, i va determinar que el seu valor exacte ha d’estar entre $3\ \ 1/7$ i $3\ \ 10/71$. L’astrònom xinès Zu Chongzhi, independentment de les troballes d’Arquímedes i aproximadament 700 anys més tard, va dur a terme una sèrie de càlculs minuciosos sobre polígons de 24.576 costats per aproximar $\pi$ a $355/113$.
Des dels primers dies de la informàtica, les computadores es posen a prova calculant $\pi$: la quantitat dels seus dígits que un ordinador podia processar serveix com a referència de la seva potència de càlcul global. A mesura que la tecnologia ha millorat exponencialment en les últimes dècades, també ho ha fet el nostre coneixement de $\pi$. El record actual de càlcul de $\pi$ l’ostenta la japonesa Emma Haruka Iwao, que el 2022 va aconseguir calcular 31,4 bilions de dígits.
La Llei d'Indiana sobre el nombre $\pi$ va ser una proposta legislativa presentada l’any 1897 a l'Assemblea General del gloriós estat d'Indiana, als Estats Units, per un matemàtic aficionat anomenat Edward J. Goodwin. El projecte de llei va suggerir un nou mètode per calcular el valor de la constant matemàtica $\pi$ i així resoldre un dels problemes matemàtics antics més famosos per mitja de la força bruta legalista.
Avui en dia, l’expressió "quadrar el cercle" és sinònim d’alguna cosa impossible de realitzar, però el terme té el seu origen a l'antiga Grècia i era considerat un repte en el camp de la geometria: construir un quadrat amb l'àrea d'un cercle utilitzant només un nombre finit de passos amb un compàs i una regla. La dificultat del problema va plantejar la qüestió de si els axiomes especificats a la geometria euclidiana sobre l'existència de línies i cercles implicaven l'existència d'aquest quadrat. El 1882, es va demostrar que la tasca era impossible, com a conseqüència del teorema de Lindemann-Weierstrass, que demostra que $\pi$ és un nombre transcendental. Això vol dir que $\pi$ no és l'arrel de cap polinomi amb coeficients racionals.
Goodwin va afirmar haver descobert un mètode nou i més precís per calcular $\pi$, que creia que simplificaria els càlculs matemàtics i tindria aplicacions pràctiques en enginyeria i arquitectura. El mètode proposat consistia precisament a quadrar el cercle, utilitzant una formula ideada per ell mateix per substituir la formula d’Arquímedes. Aquesta nova fórmula era molt més complexa i utilitzava versions imprecises de les mesures importants, inclòs el valor de $\pi$ que ell va aproximar com una proporció de "cinc quarts a quatre", o 3,2. Com a resultat, l’àrea del cercle que acabava trobant Goodwin era un 21% més gran que l’àrea real.
La Llei d'Indiana sobre el nombre $\pi$, titulada Un projecte de llei per a un acte que introdueix una nova veritat matemàtica, proposava utilitzar el mètode ideat per Goodwin per calcular $\pi$ per ensenyar geometria a les escoles, i també en enginyeria i topografia. El projecte de llei va ser aprovat per unanimitat a la Cambra de Representants d'Indiana, però va ser rebut amb crítiques i escepticisme per part de matemàtics i científics.
Finalment, el projecte de llei no es va convertir en llei. Es va aturar al Senat d'Indiana després que matemàtics i científics, inclòs el president de la Universitat de Purdue, Clarence Abiathar Waldo, van convèncer els legisladors que el mètode proposat per calcular pi era defectuós i no seria útil a la pràctica.
Ara es recorda aquest cas com un exemple dels perills de permetre que persones sense l’expertesa adient influeixin en l'educació i la política científica i matemàtica.
Pots fer-nos arribar històries sobre el número $\pi$, al correu crmcomm@crm.cat.